Backtracking

Backtracking (visszalépéses keresés)

Feladatmegoldási módszer, leggyakrabban kombinatorikai elemek generálására vagy ezek közötti keresésre használjuk.

Bevezető feladatok

1. Adott az {1,2,3,4,5} számjegyhalmaz. Állítsuk elő az összes kétjegyű számot ezekből (egy elemet lehet többször is használni)!

    11
    12
    13
    14
    15
    21
    22
    ...
    53
    54
    55

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

int main()
{
    ofstream fout("output.txt");

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
        for (int j = 1; j <= 5; j++)
            fout << i << j << endl;


    return 0;
}

2. Adott az {1,2,3,4,5} számjegyhalmaz. Állítsuk elő az összes háromjegyű számot ezekből (egy elemet lehet többször is használni)!

    111
    112
    113
    114
    115
    121
    122
    123
    ...
    155
    211
    212
    ...
    555

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

int main()
{
    ofstream fout("output.txt");

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
        for (int j = 1; j <= 5; j++)
            for (int k = 1; k <= 5; k++)
                fout << i << j << k << endl;

    return 0;
}

Descartes-szorzat generálása

3. Adott az {1,2,3,4,5} számjegyhalmaz. Beolvasunk egy n értéket a felhasználótól, állítsuk elő az összes n-jegyű számot ezekből a számjegyekből.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int megoldas[])
{
    if (szint == n) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < n; i++)
            fout << megoldas[i];
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= 5; i++) {
            megoldas[szint] = i;
            f(szint+1, n, megoldas);
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cout << "n = ";
    cin >> n;

    int megoldas[5];

    f(0, n, megoldas);

    return 0;
}

Permutációk

HF: adott n esetén írjuk ki az {1,2,…,n} halmaz összes permutációját!

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int megoldas[])
{
    if (szint == n) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < n; i++)
            fout << megoldas[i] << " ";
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            bool talalt = false;
            for (int k = 0; k < szint; k++)
                if (megoldas[k] == i)
                    talalt = true;

            if (!talalt) {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cout << "n = ";
    cin >> n;

    int megoldas[5];

    // lexikografikus sorrendben
    // állnak elő
    f(0, n, megoldas);

    return 0;
}

Variációk

HF: Adott n, k. Írjuk ki az {1,2,…,n} halmaz k-ad rendű variációit.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int k, int megoldas[])
{
    if (szint == k) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < k; i++)
            fout << megoldas[i] << " ";
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            bool talalt = false;
            for (int k = 0; k < szint; k++)
                if (megoldas[k] == i)
                    talalt = true;

            if (!talalt) {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, k, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n, k;
    cout << "n = ";
    cin >> n;
    cout << "k = ";
    cin >> k;

    int megoldas[5];

    // lexikografikus sorrendben
    // állnak elő
    f(0, n, k, megoldas);

    return 0;
}

Kombinációk

HF: Adott n, k. Írjuk ki az {1,2,…,n} halmaz k-ad rendű kombinációit (mindegyikben legyenek növekvő sorrendben az elemek).

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int k, int megoldas[])
{
    if (szint == k) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < k; i++)
            fout << megoldas[i] << " ";
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (szint == 0 || i > megoldas[szint-1]) {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, k, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n, k;
    cout << "n = ";
    cin >> n;
    cout << "k = ";
    cin >> k;

    int megoldas[5];

    // lexikografikus sorrendben
    // állnak elő
    f(0, n, k, megoldas);

    return 0;
}

HF

Írjunk programot, ami adott n-re kiírja az {1,2,…,n} halmaz azon permutációit, amikben két egymás melletti elem különbségének modulusza nem nagyobb kettőnél.

HF (+pontért)

Csak akkor jár érte, ha a kötelező is megvan és be tudjátok mutatni a megoldást.

Adott egy S pénzösszeg, majd n darab bankjegytípus, minden típusú bankjegyből tetszőleges számút fel tudunk használni.

Írjuk ki az összes kifizetési lehetőségét az S összegnek (egy lehetőséget mindig csökkenő sorrendben írunk csak ki).

Példa:

    70
    3
    10 20 50

Kimenet:

    50 20
    50 10 10
    20 20 20 10
    20 20 10 10 10
    20 10 10 10 10 10
    10 10 10 10 10 10 10

HF (+pontért)

Csak akkor jár érte, ha a kötelező is megvan és be tudjátok mutatni a megoldást.

Írjuk ki az összes módját 8 királynő elhelyezésének egy sakktáblán, ha bármelyik kettő közülük nem ütheti egymást. A kimenet formátuma tetszőleges, de legyen könnyű értelmezni (pl. rajz vagy oszlopok permutációja).

További feladatok

1. Adott n és k esetén generáljuk az {1,2,…,n} halmaz azon k-ad rendű variációit és kombinációit (utóbbinál az elemek növekvő sorrendben kell legyenek), amelyekben nincs két azonos paritású elem egymás mellett.

Példa:

    n = 5, k = 3
    {1,2,3,4,5}

    Variációk:
        [_]  [_]  [_]
         1    2    3
         1    2    5
         1    4    3
         1    4    5
         2    1    4
         2    3    4
         2    5    4
         3    2    1
         3    2    5
         3    4    1
         3    4    5
         4    1    2
         4    3    2
         4    5    2
         5    2    1
         5    2    3
         5    4    1
         5    4    3

    Kombinációk:
        [_]  [_]  [_]
         1    2    3
         1    2    5
         1    4    5
         2    3    4
         3    4    5

Kombinációkat generáló kód:

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int k, int megoldas[])
{
    if (szint == k) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < k; i++)
            fout << megoldas[i] << " ";
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (szint == 0
                || (i > megoldas[szint-1]
                    && i%2 != megoldas[szint-1]%2))
            {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, k, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n, k;
    cout << "n = ";
    cin >> n;
    cout << "k = ";
    cin >> k;

    int megoldas[5];

    // lexikografikus sorrendben
    // állnak elő
    f(0, n, k, megoldas);

    return 0;
}

Variációkat generáló kód:

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ofstream fout("output.txt");

void f(int szint, int n, int k, int megoldas[])
{
    if (szint == k) {

        // kiírás
        for (int i = 0; i < k; i++)
            fout << megoldas[i] << " ";
        fout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            bool volt = false;
            for (int j = 0; j <= szint-1; j++)
                if (megoldas[j] == i)
                    volt = true;

            if (szint == 0
                || (!volt
                    && i%2 != megoldas[szint-1]%2))
            {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, k, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n, k;
    cout << "n = ";
    cin >> n;
    cout << "k = ";
    cin >> k;

    int megoldas[5];

    // lexikografikus sorrendben
    // állnak elő
    f(0, n, k, megoldas);

    return 0;
}

2. Generáljuk az összes olyan számot az {1,2,3,4} számjegyeket felhasználva, amelyben a számjegyek összege egyenlő k-val (a felhasználó adja meg).

Ötlet:

1
2
3
4
5
6
7

void f(int szint, int s, int megoldas[])
    // ahol s a hátra levő összeg;

    // ha s==0 akkor csak kiírunk;

    // nem teszünk be s-nél nagyobb számjegyet:
    //    i <= 4 && i <= s

Példa:

    k = 5-re  (lexikografikus sorrendben):

        11111
        1112
        1121
        113
        1211
        122
        131
        14
        2111
        212
        221
        23
        311
        32
        41

    k = 5-re  (növekvő sorrendben):

           14
           23
           32
           41
          113
          122
          131
          212
          221
          311
         1112
         1121
         1211
         2111
        11111