Felmérő backtrakingből 2026.I.15-én, csütörtökön. 2 pont hivatalból, további 5 pont a 2009-es érettségi változatok backtrackinges feladataiból (ld. a 100 tételváltozatot az előző részből).

Tétel

2 pont jár hivatalból. Munkaidő: 45 perc.

1.

Generáljuk az összes olyan n-jegyű számot, amelynek számjegyei a {0,4,8} halmaz elemei. n=2 esetén a generált számok sorban 40, 44, 48, 80, 84, 88. Ha n=4, akkor melyik lesz a 4008 után következő két szám? (1p)

Válasz:

    4040
    4044

2.

Az {1,2,3,4,5,6,7,8} halmazból négyjegyű számokat állítunk elő úgy, hogy a számjegyek szigorúan növekvő sorrendben legyenek. Növekvő sorrendben az első két megoldás az 1234 és 1235. Melyek azok a számok amelynek első számjegye 2, és utolsó számjegye 7? (1p)

Válasz:

3.

A 10-es szám prímszámok összegeként való felírásához egy algoritmus sorban a következő összegeket generálja: 2+2+2+2+2, 2+2+3+3, 2+3+5, 3+7, 5+5. Ugyanazt az algoritmust a 9-es számra futtatva melyik lesz az első három megoldás? (1p)

Válasz:

    2 + 2 + 2 + 3
    2 + 2 + 5
    2 + 7

4.

A legfeljebb 3 hosszú, különböző karakterből álló sorozatokat generálva az {A,B,C,D,E} halmazból, lexikografikus sorrendben rendre a következő megoldásokat kapjuk: A, AB, ABC, ABD,…. Írjuk le a BAD után következő három megoldást! (1p)

Válasz:

    BAE
    BC
    BCA

5.

Backtrackinget alkalmazva az {a,b,c,d,e} betűkből lexikografikus sorrendben négybetűs szavakat generálunk, amelyekben nem szerepelnek magánhangzók egymás mellett. Az első nyolc szó a következő: abab, abac, abad, abba, abbb, abbc, abbd, abbe. Melyik az utolsó 5 szó? (1p)

Válasz:

    eddd
    edde
    edeb
    edec
    eded (ez az utolsó)

6.

Írjunk programot, amely adott N esetén generálja azokat az N-jegyű számokat, amelyekben minden számjegy paritása megegyezik! (1p)

Megoldás

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
#include <iostream>
using namespace std;

void general(int szint, int n, int megoldas[])
{
    if (szint == n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << megoldas[i];
        cout << endl;
    }
    else {
        for (int i = 0; i <= 9; i++) {
            if ((szint == 0 && i != 0)
                || (szint != 0 && megoldas[szint-1] % 2 == i % 2))
            {
                megoldas[szint] = i;
                general(szint+1, n, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cout << "n = ";
    cin >> n;

    int megoldas[100];

    if (n == 1)
        cout << 0 << endl;  // nem generálná a függvény

    general(0, n, megoldas);

    return 0;
}

7.

Írjunk programot, amely adott N, K és S értékek esetén generálja az {1, 2, …, N} halmaz azon K-ad rendű variációit, amelyekben az elemek összege S-nél nagyobb (1p). N és K függvényében mennyi a legnagyobb olyan S, amire még van legalább egy megoldás? (1p)

Megoldás

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
#include <iostream>
using namespace std;

void f(int szint, int n, int k, int s, int megoldas[])
{
    if (szint == k) {
        if (s < 0) {
            for (int i = 0; i < k; i++)
                cout << megoldas[i] << " ";
            cout << endl;
        }
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            bool talalt = false;
            for (int k = 0; k < szint; k++)
                if (megoldas[k] == i)
                    talalt = true;

            if (!talalt) {
                megoldas[szint] = i;
                f(szint+1, n, k, s-i, megoldas);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n, k, s;
    cout << "n = ";
    cin >> n;
    cout << "k = ";
    cin >> k;
    cout << "s = ";
    cin >> s;

    int megoldas[100];

    f(0, n, k, s, megoldas);

    return 0;
}

A legnagyobb összeg, ami előállhat egy K-ad rendű variációban: N + (N-1) + (N-2) + … + (N-(K-1)). S ennél szigorúan kisebb kell legyen. Tehát a legnagyobb S, ami megfelel:

    S = ( N + (N-1) + ... + (N-K+1) ) - 1
      = K/2 * (2*N - K + 1) - 1